FractalBộ Mandelbrot

Tất cả các fractals mà chúng ta đã thấy trong các chương trước đã được tạo bằng quy trình lặp: bạn bắt đầu với một mẫu cụ thể, và sau đó bạn lặp đi lặp lại nhiều lần.

Điều này tương tự với một khái niệm khác trong toán học mà bạn đã thấy trước đây: với chuỗi đệ quy, bạn bắt đầu với một số cụ thể, và sau đó bạn áp dụng cùng một công thức đệ quy, để lấy số tiếp theo trong sự nối tiếp.

Ví dụ, hãy lấy công thức đệ quy xn=xn−12 và vẽ các thuật ngữ của nó trên một dòng số. Bạn có thể thay đổi giá trị của x0:

Lưu ý cách chuỗi kết quả có thể hành xử rất khác nhau, tùy thuộc vào giá trị bắt đầu x0:

Cho đến nay, chúng tôi không học được gì mới. Tuy nhiên, khoảng một thế kỷ trước, các nhà toán học bắt đầu khám phá những gì xảy ra với các chuỗi này nếu bạn sử dụng số phức, thay vì chỉ là dòng số thực. Những khám phá của họ là một số kết quả đáng ngạc nhiên và đẹp nhất trong tất cả các toán học.

Bộ Julia

Hãy để sử dụng chuỗi tương tự như trước, xn=xn−12, nhưng trên mặt phẳng phức. Bạn có thể di chuyển vị trí của x0, để xem điều gì xảy ra với các điều khoản sau. Nếu chuỗi trông giống như nó sẽ hội tụ, hãy tô màu điểm tương ứng trên mặt phẳng theo màu xanh:

Như bạn có thể thấy, chuỗi hội tụ miễn là x0 nằm bên trong vòng tròn đơn vị outside the unit squareabove the >>>>x<<<<-axis (vòng tròn có bán kính 1, tập trung tại điểm gốc).

Bây giờ hãy để Lừa làm mọi thứ khó khăn hơn một chút. Thay vì chỉ bình phương số trước đó, chúng tôi cũng thêm hằng số c mỗi lần (có thể là bất kỳ số phức nào). Nói cách khác, xn=xn−12+c. Bạn có nghĩ rằng chúng tôi vẫn sẽ có được một vòng tròn hội tụ? Những hình dạng khác mà bạn nghĩ rằng chúng ta có thể nhìn thấy? Tiếp tục

Trong sơ đồ này, bạn có thể di chuyển vị trí của x0 cũng như giá trị của c:

Các hình dạng khác nhau được hình thành bằng cách tô màu trong các số được gọi là Julia Đặt. Chúng được phát hiện độc lập bởi hai nhà toán học người Pháp, Gaston Julia và Pierre Fatou, vào khoảng năm 1918.

Vào thời điểm đó, không có máy tính để giúp hình dung bộ Julia thực sự trông như thế nào. Các nhà toán học như Julia và Fatou có thể suy luận về chúng về mặt toán học, nhưng họ chỉ nhìn thấy những bản phác thảo vẽ tay thô ráp về những gì họ có thể trông như thế nào.

Chúng tôi không có vấn đề này ngày hôm nay - những hình ảnh dưới đây là tất cả các bộ Julia khác nhau. Các màu khác nhau biểu thị nhanh như thế nào trình tự tại điểm đó phân kỳ:

Tiếp tục

Bộ Mandelbrot

Khi tạo các bộ Julia khác nhau, bạn có thể nhận thấy rằng có một số giá trị c mà mọi chuỗi đều phân kỳ và toàn bộ mặt phẳng phức vẫn giữ nguyên màu trắng. Vài thập kỷ sau Julia và Fatou, một thế hệ các nhà toán học mới đã cố gắng vạch ra những khu vực này trông như thế nào.

Trong ví dụ trước, chúng tôi đã chọn một giá trị cố định cho c, và sau đó thay đổi vị trí của x0 để tô màu cho mặt phẳng. Bây giờ, hãy để Lừa sửa giá trị của x0=0 và thay vào đó thay đổi giá trị của c.

Một lần nữa, vẽ lên mặt phẳng phức tạp để lộ khu vực mà các chuỗi vẫn còn giới hạn. Những hình dạng nào bạn mong đợi xuất hiện?

xn=xn−12+${complex(c)}

x0=${complex(x0)}

x1=${complex(x1)}

x2=${complex(x2)}

x3=${complex(x3)}

…Bounded!Diverges!

Fractal này được gọi là Mandelbrot Set, và khi được xoay 90 °, nó trông gần giống như một người, với đầu, cơ thể và hai cánh tay. Nó được định nghĩa và vẽ lần đầu tiên vào năm 1978, trong một bài viết nghiên cứu của các nhà toán học Robert Brooks và Peter Matelski:

Vài năm sau, Benoit Mandelbrot đã sử dụng các máy tính mạnh mẽ tại IBM để tạo ra một hình ảnh chi tiết hơn nhiều về fractal, sau này được đặt theo tên ông. Các bản in đầu tiên trông khác với những gì anh ta mong đợi - cho đến khi anh ta nhận ra rằng các kỹ thuật viên làm việc tại các máy in đang dọn dẹp các fuzziness, xung quanh rìa của nó, cho rằng đó là do các hạt bụi hoặc lỗi máy in, và không phải là một đặc điểm xác định của fractals ! Tiếp tục

Giống như tất cả các fractals, chúng ta có thể phóng to thu nhỏ vào nhóm Mandelbrot mãi mãi, tìm ra các mẫu mới ở mọi quy mô. Tại đây, bạn có thể phóng to một phần của bộ Mandelbrot được gọi là thung lũng cá ngựa. Điểm đen là bên trong bộ Mandelbrot, trong đó chuỗi được giới hạn. Các điểm màu là bên ngoài bộ Mandelbrot, trong đó chuỗi phân kỳ và các màu khác nhau biểu thị _nó phát triển nhanh đến mức nào:

Scale: ${pow(scale)}

Thanh trượt này bao gồm 27 hình ảnh riêng lẻ, lên tới mức thu phóng hơn 14 triệu, hoặc 254. Tổng cộng, họ mất gần 45 phút để kết xuất trên một máy tính xách tay hiện đại. Bộ Mandelbrot có thể được tạo chỉ bằng một phương trình đơn giản, xn=xn−12+c, nhưng nó vô cùng phức tạp và đẹp tuyệt vời.

Khi bạn di chuyển giá trị c xung quanh bộ Mandelbrot, bạn có thể nhận thấy một thuộc tính tò mò:

• Tất cả các chuỗi trong thân chính của bộ Mandelbrot hội tụdivergereach an orbit đến một điểm duy nhất.
• Các chuỗi trong bóng đèn lớn ở đầu đạt đến quỹ đạoconvergediverge bao gồm điểm.
• Chuỗi trong bóng đèn nhỏ hơn này có quỹ đạo có chiều dài .

Mỗi bóng đèn có quỹ đạo có kích thước khác nhau, với các bóng đèn nhỏ hơn có càng nhiều điểm trên quỹ đạo của chúng. Kích thước của các quỹ đạo này có liên quan chặt chẽ với Bản đồ logistic, một khái niệm quan trọng trong lý thuyết hỗn loạn.