Bảng chú giải

Chọn một trong những từ khóa bên trái

FractalTam giác Sierpinki

Thời gian đọc: ~25 min

Một trong những hình chữ nhật mà chúng ta đã thấy trong chương trước là tam giác Sierpinki, được đặt theo tên của nhà toán học Ba Lan Wacław Sierpiński. Nó có thể được tạo ra bằng cách bắt đầu với một hình tam giác lớn, bằng nhau, và sau đó liên tục cắt các hình tam giác nhỏ hơn ra khỏi tâm của nó.

Wacław Sierpiński là nhà toán học đầu tiên nghĩ về các tính chất của tam giác này, nhưng nó đã xuất hiện nhiều thế kỷ trước đó trong các tác phẩm nghệ thuật, hoa văn và khảm.

Dưới đây là một số ví dụ về việc lát sàn từ các nhà thờ khác nhau ở Rome:

Hóa ra, tam giác Sierpinki xuất hiện trong một loạt các lĩnh vực khác của toán học, và có nhiều cách khác nhau để tạo ra nó. Trong chương này, chúng ta sẽ khám phá một số trong số họ!

Tam giác Pascal

Bạn có thể đã nhớ tam giác Sierpinki từ chương của chúng tôi về Pascal Trâm. Đây là một kim tự tháp số trong đó mọi số là tổng của hai số trên. Chạm vào tất cả các số thậm chí trong hình tam giác bên dưới, để tô sáng chúng - và xem nếu bạn nhận thấy một mẫu:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1
1
17
136
680
2380
6188
12376
19448
24310
24310
19448
12376
6188
2380
680
136
17
1
1
18
153
816
3060
8568
18564
31824
43758
48620
43758
31824
18564
8568
3060
816
153
18
1

Tam giác Pascal có thể được tiếp tục đi xuống mãi mãi và mô hình Sierpinki sẽ tiếp tục với các tam giác lớn hơn và lớn hơn. Bạn đã có thể thấy sự bắt đầu của một hình tam giác thậm chí còn lớn hơn, bắt đầu từ hàng 16.

Nếu hai ô liền kề chia hết cho 2, thì tổng của chúng trong ô bên dưới cũng phải chia hết cho 2 - đó là lý do tại sao chúng ta chỉ có thể có được các hình tam giác màu (hoặc các ô đơn). Tất nhiên, chúng ta cũng có thể thử tô màu tất cả các ô chia hết cho các số khác với 2. Bạn nghĩ gì sẽ xảy ra trong những trường hợp đó?

Divisible by ${n}:

Tại đây bạn có thể thấy một phiên bản nhỏ của 128 hàng đầu tiên của tam giác Pascal. Chúng tôi đã đánh dấu tất cả các ô chia hết cho ${n} - bạn chú ý điều gì?

Với mỗi số, chúng ta có một mẫu hình tam giác khác nhau tương tự như tam giác Sierpinki. Mẫu đặc biệt thường xuyên nếu chúng ta chọn số nguyên . Nếu số có nhiều yếu tố nguyên tố khác nhau, mẫu có vẻ ngẫu nhiên hơn.

Trò chơi hỗn loạn

Ở đây bạn có thể thấy ba đỉnh của một tam giác đều. Chạm vào bất cứ nơi nào trong khu vực màu xám để tạo điểm thứ tư.

.

Bây giờ chúng tôi lặp lại quy trình: chúng tôi chọn một đỉnh ngẫu nhiên khác, vẽ đoạn từ điểm cuối cùng của chúng tôi và sau đó tìm trung điểm . Lưu ý rằng chúng ta tô màu các điểm mới này dựa trên màu của đỉnh của tam giác mà chúng ta đã chọn.

Cho đến nay, không có gì đáng ngạc nhiên xảy ra - nhưng hãy xem khi chúng ta lặp lại quá trình tương tự nhiều lần nữa:

Quá trình này được gọi là Trò chơi hỗn loạn. Có thể có một vài điểm đi lạc lúc ban đầu, nhưng nếu bạn lặp lại các bước tương tự nhiều lần, sự phân bố các chấm bắt đầu trông giống hệt như tam giác Sierpinki!

Có nhiều phiên bản khác của nó - ví dụ: chúng ta có thể bắt đầu bằng hình vuông hoặc hình ngũ giác, chúng ta có thể thêm các quy tắc bổ sung như không thể chọn cùng một đỉnh hai lần liên tiếp hoặc chúng ta có thể chọn điểm tiếp theo theo tỷ lệ khác với 12 dọc theo đoạn. Trong một số trường hợp này, chúng tôi sẽ chỉ nhận được một phân phối ngẫu nhiên các dấu chấm, nhưng trong các trường hợp khác, chúng tôi tiết lộ nhiều hơn nữa các đoạn nhỏ:

Triangle
Square
Pentagon

Bạn đã khám phá thảm {Sierpinki](action:carpet()) hay bông tuyết hình ngũ giác [này dựa trên Tỷ lệ vàng?

Tự động di động

Một máy tự động di động là một lưới bao gồm nhiều ô riêng lẻ. Mỗi ô có thể ở các trạng thái khác nhau, các trạng thái khác nhau (ví dụ: các màu khác nhau) và trạng thái của mọi ô được xác định bởi các ô xung quanh.

Trong ví dụ của chúng tôi, mọi ô có thể là đen hoặc trắng. Chúng tôi bắt đầu với một hàng chỉ chứa một hình vuông màu đen. Trong mỗi hàng tiếp theo, màu của mỗi ô được xác định bởi ba ô ngay bên trên. Nhấn vào tám tùy chọn có thể bên dưới để lật màu của chúng - bạn có thể tìm thấy một bộ quy tắc tạo ra một mô hình tương tự như tam giác Sierpinki không?

Có hai lựa chọn cho mỗi trong số tám tùy chọn, có nghĩa là có tổng cộng 28= . Một số, như , trông giống như tam giác Sierpinki. Những người khác, như , trông hoàn toàn hỗn loạn. Nó được phát hiện bởi Stephen Wolfram vào năm 1983 và máy tính thậm chí có thể sử dụng chúng để tạo ra các số ngẫu nhiên!

Cellata automata cho thấy các mẫu rất phức tạp có thể được tạo ra bằng các quy tắc rất đơn giản - giống như fractals. Nhiều quy trình trong tự nhiên cũng tuân theo các quy tắc đơn giản, nhưng tạo ra các hệ thống cực kỳ phức tạp.

Trong một số trường hợp, điều này có thể dẫn đến sự xuất hiện của các mẫu trông giống như automata di động, ví dụ như màu sắc trên vỏ của con ốc này.

Conus dệt, một con ốc biển độc

tứ diện Sierpinki

Có nhiều biến thể của tam giác Sierpinki và các hình chữ nhật khác có tính chất và quy trình tạo tương tự. Một số nhìn 2 chiều, như Thảm Sierpinki bạn đã thấy ở trên. Những người khác nhìn 3 chiều, như những ví dụ sau:

tứ diện Sierpinki

Kim tự tháp Sierpinki

Archie