Bảng chú giải

Chọn một trong những từ khóa bên trái

Vòng tròn và PiĐộ và radian

Thời gian đọc: ~30 min
Trang này đã được dịch tự động và có thể có lỗi. Vui lòng liên lạc nếu bạn muốn giúp chúng tôi xem xét các bản dịch!

Cho đến nay trong hình học, chúng ta luôn đo góc theo độ . Một vòng tròn đầy đủ°, một một nửa vòng tròn°, một vòng tròn quý°, v.v.

Số 360 rất thuận tiện vì nó chia hết cho rất nhiều số khác: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, v.v. Điều này có nghĩa là nhiều phân số của một vòng tròn cũng là số nguyên. Nhưng bạn đã bao giờ tự hỏi số 360 đến từ đâu chưa?

Khi nó xảy ra, 360 độ là một trong những khái niệm lâu đời nhất trong toán học mà chúng ta vẫn sử dụng ngày nay. Chúng được phát triển ở Babylon cổ đại, hơn 5000 năm trước!

Vào thời điểm đó, một trong những ứng dụng quan trọng nhất của toán học là trong thiên văn học. Mặt trời quyết định bốn mùa, mà nông dân phải biết khi trồng trọt. Tương tự, mặt trăng xác định thủy triều, rất quan trọng đối với ngư dân. Mọi người cũng nghiên cứu các ngôi sao để dự đoán tương lai, hoặc để giao tiếp với các vị thần.

Một máy tính bảng Babylon để tính toán 2

Các nhà thiên văn nhận thấy rằng các chòm sao có thể nhìn thấy vào một thời điểm cụ thể trong đêm đã thay đổi một chút xíu mỗi ngày - cho đến sau khoảng 360 ngày, chúng đã quay trở lại điểm xuất phát. Và đây có thể là lý do tại sao họ chia vòng tròn thành 360 độ.

Midnight on day ${day}

Tất nhiên, thực sự có 365 ngày trong một năm (chính xác là 365.242199), nhưng các nhà toán học Babylon đã làm việc với các đồng hồ mặt trời đơn giản, và phép tính gần đúng này là hoàn toàn phù hợp.

Nó cũng hoạt động tốt với hệ thống số 60 cơ sở hiện tại của họ (kể từ đó 6×60=360 ). Hệ thống này là lý do tại sao chúng ta vẫn có 60 giây trong một phút và 60 phút trong một giờ - mặc dù hầu hết các đơn vị khác được đo ở cơ sở 10 (ví dụ 10 năm trong một thập kỷ hoặc 100 năm trong một thế kỷ).

Đối với nhiều người trong chúng ta, đo góc theo độ là bản chất thứ hai: có video 360°, người trượt ván có thể kéo được 540 giây và ai đó thay đổi quyết định của họ có thể quay 180°.

Nhưng theo quan điểm toán học, việc lựa chọn 360 là hoàn toàn tùy ý. Nếu chúng ta đang sống trên Sao Hỏa, một vòng tròn có thể có 670° và một năm trên Sao Mộc thậm chí có 10,475 ngày.

540 McFlip, xoay 540°

Xạ hương

Thay vì chia một vòng tròn thành một số phân đoạn (như 360 độ), các nhà toán học thường thích đo các góc bằng chu vi của một vòng tròn đơn vị (một vòng tròn có bán kính 1).

Một có chu vi .

Cho một , khoảng cách tương ứng dọc theo chu vi là .

Cho một , khoảng cách dọc theo chu vi là .

Và như vậy: cách đo góc này được gọi là radian (bạn có thể nhớ đây là đơn vị bán kính của thang điểm).

Mỗi góc tính theo độ có kích thước tương đương tính bằng radian. Chuyển đổi giữa hai thứ rất dễ dàng - giống như bạn có thể chuyển đổi giữa các đơn vị khác như mét và km, hoặc Celsius và Fahrenheit:

360° = = 2 rad π


= = rad


1 rad = = °

Bạn có thể viết đánh giá radian hoặc là một bội số của π, hoặc như chỉ là một số thập phân đơn. Bạn có thể điền vào bảng này kích thước góc tương đương theo độ và radian không?

độ060180
radian0232π

Khoảng cách di chuyển

Bạn có thể nghĩ về radian khi khoảng cách của người du hành trên đường đi dọc theo chu vi của một vòng tròn đơn vị. Điều này đặc biệt hữu ích khi làm việc với các đối tượng đang di chuyển trên một đường tròn.

Ví dụ: Trạm vũ trụ quốc tế quay quanh Trái đất cứ sau 1,5 giờ. Điều này có nghĩa là tốc độ quay của nó radian mỗi giờ.

Trong một vòng tròn đơn vị , tốc độ quay giống như tốc độ thực tế , bởi vì độ dài của chu vi giống như một vòng quay đầy đủ tính bằng radian (cả hai đều 2π ).

Bán kính của quỹ đạo ISS là 6800  km, có nghĩa là tốc độ thực tế của ISS phải là = 28483 km mỗi giờ.

${round(p*1.5,1)}h

Bạn có thể thấy rằng, trong ví dụ này, radian là một đơn vị thuận tiện hơn nhiều so với độ không? Khi chúng ta biết tốc độ quay, chúng ta chỉ cần nhân với bán kính để có được tốc độ thực tế.

Đây là một ví dụ khác: xe của bạn có bánh xe với bán kính 0,25  m. Nếu bạn đang lái xe ở tốc độ 20  m / s, thì bánh xe của bạn sẽ quay ở radian mỗi giây (hoặc là 802π=13 vòng quay mỗi giây).

Lượng giác

Đối với hầu hết các bài toán hình học đơn giản, độ và radian hoàn toàn có thể thay thế cho nhau - bạn có thể chọn câu nào bạn thích hoặc câu hỏi có thể cho bạn biết đơn vị nào sẽ đưa ra câu trả lời của bạn. Tuy nhiên, khi bạn nghiên cứu lượng giác hoặc phép tính nâng cao hơn, nó sẽ xuất hiện radian thuận tiện hơn nhiều so với độ.

Hầu hết các máy tính có một nút đặc biệt để chuyển đổi giữa độ và radian. Các hàm lượng giác như sin , costan lấy các góc làm đầu vào và các hàm nghịch đảo của chúng là arcsin , arccosarctan trả về các góc làm đầu ra. Cài đặt máy tính hiện tại xác định đơn vị nào được sử dụng cho các góc này.

Hãy thử sử dụng máy tính này để tính toán

tội lỗi (30°) = cos (1°) =
tội lỗi (30 rad) = cos (1 rad) =

DEG
7
8
9
sin
4
5
6
cos
1
2
3
tan
0
.
C
mode

Sử dụng radian có một lợi thế đặc biệt thú vị khi sử dụng chức năng Sine. Nếu θ là một góc rất nhỏ (dưới 20° hoặc 0,3 rad), sau đó sinθθ . Ví dụ,

tội( ${x} ) ${sin(x)} Giáo dục

Đây được gọi là xấp xỉ góc nhỏ và nó có thể đơn giản hóa rất nhiều phương trình nhất định có chứa các hàm lượng giác. Bạn sẽ tìm hiểu nhiều hơn về điều này trong tương lai.