Vòng tròn và PiHình cầu, hình nón và hình trụ

Trong các phần trước, chúng tôi đã nghiên cứu các thuộc tính của các vòng tròn trên một bề mặt phẳng. Nhưng thế giới của chúng ta thực sự là ba chiều, vì vậy hãy xem xét một số chất rắn 3D dựa trên các vòng tròn:

Một hình trụ bao gồm hai vòng tròn song song, song song được nối bởi một bề mặt cong.

Một hình nón có đế tròn được nối với một điểm duy nhất (gọi là đỉnh).

Mọi điểm trên bề mặt của một quả cầu có cùng khoảng cách từ tâm của nó.

Lưu ý cách định nghĩa của hình cầu gần giống với định nghĩa của hình - ngoại trừ trong ba chiều!

Xi lanh

Ở đây bạn có thể thấy Gasometer hình trụ ở Oberhausen, Đức. Nó được sử dụng để lưu trữ khí đốt tự nhiên được sử dụng làm nhiên liệu trong các nhà máy và nhà máy điện gần đó. Gasometer cao 120m, và đế và trần của nó là hai vòng tròn lớn với bán kính 35m. Có hai câu hỏi quan trọng mà các kỹ sư có thể muốn trả lời:

Bao nhiêu khí tự nhiên có thể được lưu trữ? Đây là của xi lanh.
Cần bao nhiêu thép để chế tạo Gasometer? Đây là (khoảng) của hình trụ.

Hãy thử tìm công thức cho cả hai kết quả này!

Đồng hồ đo khí Oberhausen

Thể tích của một hình trụ

Trên cùng và dưới cùng của một hình trụ là hai vòng tròn đồng dạng, được gọi là cơ sở . Các chiều cao h của hình trụ là khoảng cách vuông góc giữa các cơ sở này và bán kính r của hình trụ đơn giản là bán kính của các đáy tròn.

Chúng ta có thể ước chừng một hình trụ bằng cách sử dụng một ${n} lăng kính hai mặt. Khi số cạnh tăng lên, lăng kính bắt đầu trông ngày càng giống hình trụ:

Mặc dù một hình trụ về mặt kỹ thuật không phải là lăng kính, chúng có chung nhiều đặc tính. Trong cả hai trường hợp, chúng ta có thể tìm thấy âm lượng bằng cách nhân diện tích của chúng căn cứ với họ chiều cao . Điều này có nghĩa là một hình trụ có bán kính r và chiều cao h có âm lượng

Hãy nhớ rằng bán kính và chiều cao phải sử dụng cùng một đơn vị. Ví dụ: nếu r và h đều tính bằng cm thì âm lượng sẽ ở .

Trong các ví dụ trên, hai cơ sở của hình trụ luôn trực tiếp với nhau : đây được gọi là hình trụ bên phải . Nếu các căn cứ không trực tiếp với nhau, chúng ta có một hình trụ xiên . Các căn cứ vẫn song song, nhưng hai bên dường như nghiêng về phía góc nghiêng của góc nghiêng không phải là 90°.

Tháp nghiêng Pisa ở Ý không hoàn toàn là một hình trụ xiên.

Thể tích của một hình trụ xiên hóa ra giống hệt như hình trụ của một hình trụ bên phải có cùng bán kính và chiều cao. Điều này là do Nguyên lý của Cavalier , được đặt theo tên nhà toán học người Ý Bonaventura Cavalieri : nếu hai vật rắn có cùng diện tích mặt cắt ngang ở mọi độ cao, thì chúng sẽ có cùng thể tích.

Hãy tưởng tượng cắt một hình trụ thành nhiều đĩa mỏng. Sau đó chúng ta có thể trượt các đĩa này theo chiều ngang để có được một hình trụ xiên. Âm lượng của các đĩa riêng lẻ không thay đổi khi bạn làm cho nó xiên, do đó tổng âm lượng cũng không đổi:

Diện tích bề mặt của xi lanh

Để tìm diện tích bề mặt của một hình trụ, chúng ta phải hủy bỏ nó vào lưới phẳng. Bạn có thể tự thử, ví dụ bằng cách bóc nhãn trên hộp thức ăn.

Có hai , một ở phía trên và một ở dưới cùng của hình trụ. Mặt cong thực sự là một lớn .

Hai vòng tròn đều có diện tích .
Chiều cao của hình chữ nhật là và chiều rộng của hình chữ nhật giống như của các vòng tròn: .

Điều này có nghĩa là tổng diện tích bề mặt của hình trụ có bán kính r và chiều cao h được cho bởi

A= .

Xi lanh có thể được tìm thấy ở khắp mọi nơi trên thế giới của chúng ta - từ lon soda đến giấy vệ sinh hoặc ống nước. Bạn có thể nghĩ về bất kỳ ví dụ khác?

Gasometer ở trên có bán kính 35m và cao 120m. Bây giờ chúng ta có thể tính toán rằng khối lượng của nó là khoảng m3 và diện tích bề mặt của nó là khoảng m2 .

Nón

Một hình nón là một vật rắn ba chiều có hình tròn cơ sở . Mặt bên của nó hướng lên trên hướng lên trên như thể hiện trong sơ đồ và kết thúc ở một điểm duy nhất gọi là đỉnh .

Các bán kính của hình nón là bán kính của hình tròn và chiều cao của hình nón là khoảng cách vuông góc từ đáy đến đỉnh.

Cũng giống như những hình dạng khác mà chúng ta đã gặp trước đây, hình nón có ở khắp mọi nơi xung quanh chúng ta: nón kem, nón giao thông, mái nhà nhất định và thậm chí cả cây thông giáng sinh. Bạn có thể nghĩ gì khác?

Khối lượng của một hình nón

Trước đây chúng tôi đã tìm thấy thể tích của một hình trụ bằng cách xấp xỉ nó bằng lăng kính. Tương tự như vậy, chúng ta có thể tìm thấy khối lượng của một hình nón bằng cách xấp xỉ nó bằng cách sử dụng một kim tự tháp .

Ở đây bạn có thể thấy một ${n} kim tự tháp hai mặt. Khi số cạnh tăng lên, kim tự tháp bắt đầu trông ngày càng giống hình nón. Trong thực tế, chúng ta có thể nghĩ về một hình nón như một kim tự tháp với vô số mặt!

Điều này cũng có nghĩa là chúng ta cũng có thể sử dụng phương trình cho âm lượng: V=13base×height . Cơ sở của hình nón là một hình tròn, nên thể tích của hình nón có bán kính r và chiều cao h là

Lưu ý sự tương đồng với phương trình cho thể tích của một hình trụ. Hãy tưởng tượng vẽ một hình trụ xung quanh hình nón, có cùng đế và chiều cao - đây được gọi là hình trụ có hình tròn. Bây giờ, hình nón sẽ chiếm chính xác thể tích của hình trụ:

Lưu ý: Bạn có thể nghĩ rằng vô số các mặt nhỏ như một xấp xỉ là một chút không chính xác. Các nhà toán học đã dành một thời gian dài cố gắng tìm ra một cách đơn giản hơn để tính thể tích của một hình nón. Năm 1900, nhà toán học vĩ đại David Hilbert thậm chí đã đặt tên cho nó là một trong 23 vấn đề quan trọng nhất chưa được giải quyết trong toán học! Ngày nay chúng ta biết rằng nó thực sự là không thể.

Cũng giống như một hình trụ, một hình nón không nhất thiết phải là đường thẳng. Nếu đỉnh trực tiếp trên tâm của cơ sở, chúng ta có một hình nón bên phải . Mặt khác, chúng tôi gọi nó là một hình nón xiên .

Một lần nữa, chúng ta có thể sử dụng nguyên tắc của Cavalieri để chỉ ra rằng tất cả các hình nón xiên có cùng một thể tích, miễn là chúng có cùng chiều cao và chiều cao cơ sở.

Diện tích bề mặt của hình nón

Tìm diện tích bề mặt của hình nón là một chút khó khăn hơn. Giống như trước đây, chúng ta có thể làm sáng tỏ một hình nón vào lưới của nó. Di chuyển thanh trượt để xem điều gì xảy ra: trong trường hợp này, chúng ta có một vòng tròn và một .

Bây giờ chúng ta chỉ cần thêm diện tích của cả hai thành phần này. Các cơ sở là một hình tròn có bán kính r , nên diện tích của nó là

ABase= .

Bán kính của sector giống như khoảng cách từ vành của hình nón đến đỉnh của nó. Cái này được gọi là chiều cao nghiêng là của hình nón, và không giống như bình thường chiều cao h . Chúng ta có thể tìm thấy chiều cao nghiêng bằng Pythagoras :

s2	=
s	=

Các chiều dài cung của ngành giống như của cơ sở : 2πr . Bây giờ chúng ta có thể tìm thấy khu vực của khu vực bằng cách sử dụng công thức mà chúng ta đã bắt nguồn trong phần trước:

ASector	=	ACircle×arccircumference
	=

Cuối cùng, chúng ta chỉ cần thêm diện tích của cơ sở và diện tích của ngành , để có được tổng bề mặt là hình nón:

Hình cầu

Một hình cầu là một vật rắn ba chiều bao gồm tất cả các điểm có cùng khoảng cách từ một vật đã cho trung tâm C. Khoảng cách này được gọi là bán kính r của quả cầu.

Bạn có thể nghĩ về một quả cầu như một vòng tròn ba chiều của người Viking . Giống như một vòng tròn, một hình cầu cũng có một đường kính d , chiều dài của bán kính, cũng như hợp âm và secants.

Trong phần trước , bạn đã tìm hiểu cách nhà toán học Hy Lạp Eratosthenes tính toán bán kính Trái đất bằng cách sử dụng bóng của một cây sào - nó dài 6.371 km. Bây giờ, chúng ta hãy cố gắng tìm tổng khối lượng và diện tích bề mặt của Trái đất.

Khối lượng của một hình cầu

Để tìm thể tích của một khối cầu, một lần nữa chúng ta phải sử dụng Nguyên lý của Cavalier. Hãy bắt đầu với một bán cầu - một hình cầu cắt làm đôi dọc theo đường xích đạo. Chúng ta cũng cần một hình trụ có bán kính và chiều cao tương đương với bán cầu, nhưng với một hình nón ngược thì cắt ra hình chữ nhật ở giữa.

Khi bạn di chuyển thanh trượt bên dưới, bạn có thể thấy mặt cắt ngang của cả hai hình dạng này ở độ cao cụ thể phía trên cơ sở:

Chúng ta hãy cố gắng tìm diện tích mặt cắt ngang của cả hai vật rắn này, ở khoảng cách xa chiều cao h so với chân đế.

Mặt cắt ngang của bán cầu luôn là một hình .

Các bán kính x của mặt cắt là một phần của tam giác vuông , vì vậy chúng ta có thể sử dụng Pythagoras :

r2=h2+x2 .

Bây giờ, diện tích của mặt cắt là

Mặt cắt ngang của hình trụ cắt luôn là một .

Bán kính của lỗ là h . Chúng ta có thể tìm thấy diện tích của vòng bằng cách trừ diện tích của lỗ khỏi diện tích của vòng tròn lớn hơn:

Một	=	πr2−πh2
	=	πr2−h2

Có vẻ như cả hai chất rắn có cùng diện tích mặt cắt ngang ở mọi cấp độ. Theo nguyên lý của Cavalieri, cả hai chất rắn cũng phải có cùng một ! Chúng ta có thể tìm thể tích của bán cầu bằng cách trừ thể tích của hình trụ và thể tích của hình nón :

VHemisphere	=	VCylinder−VCone
	=

Một hình cầu bao gồm bán cầu, có nghĩa là khối lượng của nó phải

V=43πr3 .

Trái đất là (xấp xỉ) một quả cầu có bán kính 6.371 km. Do đó, khối lượng của nó là

V	=
	=	1 km3

Mật độ trung bình của Trái đất là 5510kg/m3 . Điều này có nghĩa là tổng khối lượng của nó là

Mass=Volume×Density≈6×1024kg

Đó là số 6 theo sau là 24 số không!

Nếu bạn so sánh các phương trình cho thể tích của hình trụ, hình nón và hình cầu, bạn có thể nhận thấy một trong những mối quan hệ thỏa mãn nhất trong hình học. Hãy tưởng tượng chúng ta có một hình trụ có cùng chiều cao với đường kính của đế của nó. Bây giờ chúng ta có thể lắp cả hình nón và hình cầu một cách hoàn hảo vào bên trong:

Hình nón này có bán kính r và chiều cao 2r . Khối lượng của nó là

Hình cầu này có bán kính r . Khối lượng của nó là

Xi lanh này có bán kính r và chiều cao 2r . Khối lượng của nó là

Chú ý làm thế nào, nếu chúng ta thể tích của hình nón và hình cầu, ta được chính xác thể tích của hình trụ!

Diện tích bề mặt của một hình cầu

Tìm một công thức cho diện tích bề mặt của một hình cầu là rất khó. Một lý do là chúng ta không thể mở và làm phẳng bề mặt của một hình cầu, giống như chúng ta đã làm cho hình nón và hình trụ trước đây.

Đây là một vấn đề cụ thể khi cố gắng tạo bản đồ. Trái đất có bề mặt cong, ba chiều, nhưng mọi bản đồ in phải phẳng và hai chiều. Điều này có nghĩa là Nhà địa lý phải gian lận: bằng cách kéo dài hoặc squishing một số khu vực nhất định.

Ở đây bạn có thể thấy một vài loại bản đồ khác nhau, được gọi là phép chiếu . Hãy thử di chuyển hình vuông màu đỏ và xem khu vực này thực sự trông như thế nào trên quả địa cầu:

Mercator

Cylindrical

Robinson

Mollweide

As you move the square on the map, notice how the size and shape of the actual area changes on the three-dimensional globe.

Để tìm diện tích bề mặt của một hình cầu, một lần nữa chúng ta có thể ước chừng nó bằng một hình dạng khác - ví dụ như một khối đa diện có nhiều mặt. Khi số lượng khuôn mặt tăng lên, khối đa diện bắt đầu trông ngày càng giống hình cầu.

SẮP RA MẮT: Bằng chứng diện tích bề mặt hình cầu

Thay đổi ngôn ngữ

Đăng nhập Mathigon

Chia sẻ

Đặt lại tiến độ

Bảng chú giải