Bảng chú giải

Chọn một trong những từ khóa bên trái

Vòng tròn và PiGiới thiệu

Thời gian đọc: ~40 min
Trang này đã được dịch tự động và có thể có lỗi. Vui lòng liên lạc nếu bạn muốn giúp chúng tôi xem xét các bản dịch!

Từ lâu, con người đã tồn tại, chúng ta đã nhìn lên bầu trời và cố gắng giải thích sự sống trên Trái đất bằng chuyển động của các ngôi sao, hành tinh và mặt trăng.

Các nhà thiên văn học Hy Lạp cổ đại là những người đầu tiên phát hiện ra rằng tất cả các thiên thể di chuyển trên những con đường thông thường, được gọi là quỹ đạo . Họ tin rằng những quỹ đạo này luôn có hình tròn. Xét cho cùng, các vòng tròn là các hình dạng hoàn hảo nhất của tất cả các hình dạng: đối xứng theo mọi hướng, và do đó là một lựa chọn phù hợp cho trật tự cơ bản của vũ trụ của chúng ta.

Trái đất là trung tâm của vũ trụ Ptolemy .

Mỗi điểm trên một vòng tròn có cùng khoảng cách từ tâm của nó. Điều này có nghĩa là chúng có thể được vẽ bằng la bàn :

Có ba phép đo quan trọng liên quan đến vòng tròn mà bạn cần biết:

  • Các bán kính là khoảng cách từ tâm của vòng tròn đến vành ngoài của nó.
  • Các đường kính là khoảng cách giữa hai điểm đối diện trên một vòng tròn. Nó đi qua trung tâm của nó, và chiều dài của nó là bán kính.
  • Các chu vi (hay chu vi) là khoảng cách xung quanh một vòng tròn.

Một thuộc tính quan trọng của vòng tròn là tất cả các vòng tròn đều giống nhau . Bạn có thể chứng minh rằng bằng cách hiển thị cách tất cả các vòng tròn có thể được khớp với nhau bằng cách sử dụng các bản dịch và độ giãn đơn giản:

Bạn có thể nhớ rằng, đối với các đa giác tương tự, tỷ lệ giữa các cạnh tương ứng luôn không đổi. Một cái gì đó tương tự hoạt động cho các vòng tròn: tỷ lệ giữa chu viđường kính là bằng nhau cho tất cả các vòng tròn . Nó luôn là 3.14159, một con số bí ẩn có tên là Pi , thường được viết là chữ Hy Lạp π cho tiếng pát. Pi có vô số chữ số thập phân cứ kéo dài mãi mà không có mẫu cụ thể nào:

Đây là một bánh xe có đường kính 1. Khi bạn mở khóa chu vi, bạn có thể thấy rằng chiều dài của nó là chính xác :

01234π

Đối với hình tròn có đường kính d , chu vi là C=π×d . Tương tự, đối với đường tròn có bán kính r , chu vi là

C= .

Các vòng tròn hoàn toàn đối xứng và chúng không có bất kỳ điểm yếu nào của điểm giống như các góc của đa giác. Đây là một trong những lý do tại sao chúng có thể được tìm thấy ở mọi nơi trong tự nhiên:

Những bông hoa

Những hành tinh

Cây

Trái cây

Bọt xà phòng

Và còn rất nhiều ví dụ khác: từ cầu vồng đến gợn nước. Bạn có thể nghĩ về bất cứ điều gì khác?

Nó cũng chỉ ra rằng một vòng tròn là hình dạng có diện tích lớn nhất cho một chu vi nhất định. Ví dụ: nếu bạn có một sợi dây có chiều dài 100  m, bạn có thể sử dụng nó để bao quanh không gian lớn nhất nếu bạn tạo thành một vòng tròn (thay vì các hình dạng khác như hình chữ nhật hoặc hình tam giác).

Trong tự nhiên, các vật thể như giọt nước hoặc bọt khí có thể tiết kiệm năng lượng bằng cách trở thành hình tròn hoặc hình cầu, và giảm diện tích bề mặt của chúng.

Triangle
Square
Pentagon
Circle

Chu vi = 100 , Diện tích = ${area}

Diện tích hình tròn

Nhưng làm thế nào để chúng ta thực sự tính diện tích của một vòng tròn? Chúng ta hãy thử cùng một kỹ thuật mà chúng ta đã sử dụng để tìm diện tích tứ giác : chúng ta cắt hình thành nhiều phần khác nhau, sau đó sắp xếp lại chúng thành một hình dạng khác nhau mà chúng ta đã biết diện tích (ví dụ hình chữ nhật hoặc hình tam giác).

Sự khác biệt duy nhất là, bởi vì các vòng tròn bị cong, chúng ta phải sử dụng một số phép tính gần đúng:

rπr

Ở đây bạn có thể thấy một vòng tròn được chia thành ${toWord(n1)} giày cao gót đế bằng. Di chuyển thanh trượt, để sắp xếp các nêm trong một hàng.

Nếu chúng ta tăng số lượng nêm lên ${n1} , hình dạng này bắt đầu trông ngày càng giống .

Chiều cao của hình chữ nhật bằng của vòng tròn. Chiều rộng của hình chữ nhật bằng của vòng tròn. (Lưu ý cách một nửa các nêm úp xuống và một nửa trong số chúng úp lên.)

Do đó, tổng diện tích của hình chữ nhật là khoảng A=πr2 .

r2πr

Ở đây bạn có thể thấy một vòng tròn được chia thành ${toWord(n)} Nhẫn. Giống như trước đây, bạn có thể di chuyển thanh trượt sang các vòng khác.

Nếu chúng ta tăng số lượng nhẫn lên ${n2} , hình dạng này bắt đầu trông giống như một .

Chiều cao của tam giác bằng của vòng tròn. Cơ sở của tam giác bằng của vòng tròn. Do đó, tổng diện tích của tam giác là khoảng

A=12base×height=πr2 .

Nếu chúng ta có thể sử dụng vô số vòng hoặc nêm, các phép tính gần đúng ở trên sẽ hoàn hảo - và cả hai đều cho chúng ta cùng một công thức cho diện tích hình tròn:

A=πr2 .

Tính Pi

Như bạn đã thấy ở trên, π=3.1415926 không phải là một số nguyên đơn giản và các chữ số thập phân của nó sẽ tồn tại mãi mãi mà không có bất kỳ mẫu lặp lại nào. Các số có thuộc tính này được gọi là số vô tỷ và có nghĩa là π không thể được biểu thị dưới dạng một phần đơn giản ab .

Điều đó cũng có nghĩa là chúng ta không bao giờ có thể viết ra tất cả các chữ số của Pi - sau tất cả, có vô số. Các nhà toán học Hy Lạp và Trung Quốc cổ đại đã tính toán bốn chữ số thập phân đầu tiên của Pi bằng cách xấp xỉ các vòng tròn bằng cách sử dụng đa giác thông thường. Lưu ý cách, khi bạn thêm nhiều cạnh, đa giác bắt đầu trông như một vòng tròn:

Năm 1665, Isaac Newton đã tính được 15 chữ số. Ngày nay, chúng ta có thể sử dụng các máy tính mạnh mẽ để tính giá trị của Pi với độ chính xác cao hơn nhiều.

Kỷ lục hiện tại là 31,4 nghìn tỷ chữ số. Một cuốn sách in chứa tất cả các chữ số này sẽ dày khoảng 400  km - đó là độ cao mà Trạm vũ trụ quốc tế quay quanh Trái đất!

Tất nhiên, bạn không cần phải nhớ nhiều chữ số của Pi. Trong thực tế, phần nhỏ 227=3.142 là một xấp xỉ lớn.

Một cách tiếp cận để tính Pi là sử dụng các dãy số vô hạn. Đây là một ví dụ được phát hiện bởi Gottfried Wilhelm Leibniz vào năm 1676:

π=4143+4547+494+

Khi chúng tôi tính toán ngày càng nhiều điều khoản của loạt bài này, luôn theo cùng một mẫu, kết quả sẽ ngày càng gần với Pi hơn.

Nhiều nhà toán học tin rằng Pi có một tính chất thậm chí còn gây tò mò hơn: đó là một con số bình thường . Điều này có nghĩa là các chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện hoàn toàn ngẫu nhiên, như thể tự nhiên đã gieo xúc xắc 10 mặt vô hạn nhiều lần, để xác định giá trị của Pi.

Tại đây bạn có thể thấy 100 chữ số đầu tiên của Pi. Di chuyển qua một số ô, để xem cách các chữ số được phân phối.

3
.
1
4
1
5
9
2
6
5
3
5
8
9
7
9
3
2
3
8
4
6
2
6
4
3
3
8
3
2
7
9
5
0
2
8
8
4
1
9
7
1
6
9
3
9
9
3
7
5
1
0
5
8
2
0
9
7
4
9
4
4
5
9
2
3
0
7
8
1
6
4
0
6
2
8
6
2
0
8
9
9
8
6
2
8
0
3
4
8
2
5
3
4
2
1
1
7
0
6
7
9

Nếu Pi bình thường, điều đó có nghĩa là bạn có thể nghĩ về bất kỳ chuỗi chữ số nào và nó sẽ xuất hiện ở đâu đó trong các chữ số của nó. Tại đây bạn có thể tìm kiếm một triệu chữ số đầu tiên của Pi - chúng có chứa ngày sinh của bạn không?

Một triệu chữ số của Pi

Search for a string of digits:
3.

Chúng tôi thậm chí có thể chuyển đổi toàn bộ một cuốn sách, như Harry Potter, thành một chuỗi các chữ số rất dài (a = 01, b = 02, v.v.). Nếu Pi bình thường, chuỗi này sẽ xuất hiện ở đâu đó trong các chữ số của nó - nhưng phải mất hàng triệu năm để tính đủ các chữ số để tìm thấy nó.

Pi rất dễ hiểu, nhưng có tầm quan trọng cơ bản trong khoa học và toán học. Đó có thể là một lý do tại sao Pi trở nên phổ biến khác thường trong văn hóa của chúng tôi (ít nhất, so với các chủ đề khác của toán học):

Pi is the secret combination for the tablet in “Night at the Museum 2”.

Professor Frink (“Simpsons”) silences a room of scientists by saying that Pi equals 3.

Spock (“Star Trek”) disables an evil computer by asking it to calculate the last digit of Pi.

Thậm chí còn có một ngày Pi mỗi năm, rơi vào ngày 14 tháng 3, bởi vì π3.14 hoặc vào ngày 22 tháng 7 vì π227 .