Bảng chú giải

Chọn một trong những từ khóa bên trái

Đa giác và đa diệnTứ giác

Thời gian đọc: ~50 min
Trang này đã được dịch tự động và có thể có lỗi. Vui lòng liên lạc nếu bạn muốn giúp chúng tôi xem xét các bản dịch!

Trong khóa học trước, chúng tôi đã nghiên cứu nhiều tính chất khác nhau của hình tam giác. Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào tứ giác.

Một hình tứ giác đều được gọi là . Tất cả các cạnh của nó có cùng chiều dài, và tất cả các góc của nó đều bằng nhau.

Một hình vuông là một hình tứ giác có bốn cạnh bằng nhaubốn góc bằng nhau .

Đối với các tứ giác ít thường xuyên hơn một chút, chúng ta có hai lựa chọn. Nếu chúng ta chỉ muốn các góc bằng nhau, chúng ta sẽ có một hình chữ nhật . Nếu chúng ta chỉ muốn các cạnh bằng nhau, chúng ta sẽ có một hình thoi .

Hình chữ nhật là một hình tứ giác có bốn góc bằng nhau .

Hình thoi là một hình tứ giác có bốn cạnh bằng nhau .

Có một vài hình tứ giác khác, thậm chí ít thường xuyên hơn nhưng vẫn có một số tính chất quan trọng nhất định:

Nếu cả hai cặp cạnh đối diệnsong song, chúng tôi có được một hình bình hành.

Nếu hai cặp cạnh kề có cùng độ dài, chúng ta sẽ có một Cánh diều .

Nếu có ít nhất một cặp cạnh đối diện song song, chúng ta sẽ có được một Trapezium .

Tứ giác có thể rơi vào nhiều loại. Chúng ta có thể hình dung thứ bậc của các loại hình tứ giác khác nhau dưới dạng sơ đồ Venn :

Ví dụ, mỗi hình chữ nhật cũng là một hình và mỗi cũng là một con diều. Một hình thoi là hình vuông và hình chữ nhật là một hình thang.

Để tránh bất kỳ sự mơ hồ, chúng tôi thường chỉ sử dụng loại cụ thể nhất.

Bây giờ chọn bốn điểm, bất cứ nơi nào trong hộp màu xám bên trái. Chúng ta có thể kết nối tất cả chúng để tạo thành một hình tứ giác.

Chúng ta hãy tìm trung điểm của bốn phía. Nếu chúng ta kết nối các điểm giữa, chúng ta sẽ có .

Hãy thử di chuyển các đỉnh của tứ giác bên ngoài và quan sát những gì xảy ra với cái nhỏ hơn. Có vẻ như nó không chỉ là bất kỳ hình tứ giác nào , mà luôn là hình !

Nhưng tại sao lại như vậy? Tại sao kết quả cho bất kỳ tứ giác luôn luôn là một hình bình hành? Để giúp chúng tôi giải thích, chúng tôi cần vẽ một trong các đường chéo của tứ giác ban đầu.

Đường chéo chia tứ giác thành hai hình tam giác . Và bây giờ bạn có thể thấy rằng hai trong số các cạnh của tứ giác bên trong thực sự là của các hình tam giác.

Trong quá trình trước, chúng tôi đã chỉ ra rằng midsegments của một tam giác luôn song song với cơ sở của nó. Trong trường hợp này, điều đó có nghĩa là cả hai cạnh này đều song song với đường chéo - do đó chúng cũng phải .

Chúng ta có thể làm chính xác như vậy với đường chéo thứ hai của tứ giác, để cho thấy rằng cả hai cặp cạnh đối diện đều song song. Và đây là tất cả những gì chúng ta cần để chứng minh rằng tứ giác bên trong là hình bình hành .

Hình bình hành

Nó chỉ ra rằng hình bình hành có nhiều tính chất thú vị khác, ngoài các mặt đối diện là song song. Khẳng định nào sau đây là đúng?

The opposite sides are congruent.
The internal angles are always less than 90°.
The diagonals bisect the internal angles.
The opposite angles are congruent.
Both diagonals are congruent.
Adjacent sides have the same length
The two diagonals bisect each other in the middle.

Tất nhiên, chỉ đơn giản là quan sát những người thuộc tính này là không đủ. Để chắc chắn rằng chúng luôn luôn đúng, chúng ta cần chứng minh chúng:

Đối diện Sides và Angles

Chúng ta hãy cố gắng chứng minh rằng các cạnh và góc đối diện trong hình bình hành luôn đồng dạng.

Bắt đầu bằng cách vẽ một trong các đường chéo của hình bình hành.

Đường chéo tạo ra bốn góc mới với các cạnh của hình bình hành. Hai góc màu đỏ và hai góc màu xanhcác góc xen kẽ nhau , vì vậy chúng phải .

Bây giờ nếu chúng ta nhìn vào hai hình tam giác được tạo bởi đường chéo, chúng ta thấy rằng chúng có hai góc đồng dạng và một cạnh đồng dạng . Bằng Điều kiện đồng quy , cả hai tam giác đều phải đồng dạng.

Điều này có nghĩa là các phần tương ứng khác của các hình tam giác cũng phải đồng dạng: đặc biệt, cả hai cặp cạnh đối diện đều đồng dạng và cả hai cặp góc đối diện đều đồng dạng.

Nó chỉ ra rằng điều ngược lại cũng đúng: nếu cả hai cặp cạnh đối diện (hoặc góc) trong một hình tứ giác đều đồng dạng, thì tứ giác phải là hình bình hành.

Đường chéo

Bây giờ chứng minh rằng hai đường chéo trong hình bình hành chia đôi nhau.

Hãy nghĩ về hai hình tam giác màu vàng được tạo bởi các đường chéo:

  • Chúng tôi vừa chứng minh rằng hai mặt màu xanh lá cây đồng dạng với nhau, bởi vì chúng là hai mặt đối diện của hình bình hành. * Hai góc màu đỏhai góc màu xanh đồng dạng, vì chúng là .

Bằng Điều kiện , do đó cả hai hình tam giác màu vàng cũng phải đồng dạng.

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng thực tế các phần tương ứng của các tam giác đồng dạng cũng đồng dạng, để kết luận rằng AM = = CMBM = = DM . Nói cách khác, hai đường chéo giao nhau tại điểm giữa của chúng.

Giống như trước đây, điều ngược lại cũng đúng: nếu hai đường chéo của một tứ giác chia đôi cho nhau, thì tứ giác là một hình bình hành.

Diều

Chúng tôi đã chỉ ra ở trên rằng hai cặp cạnh bên của hình bình hành là đồng dạng. Trong một con diều, hai cặp cạnh liền nhau.

Cái tên Diều rõ ràng xuất phát từ hình dạng của nó: nó trông giống như những con diều bạn có thể bay trên bầu trời. Tuy nhiên, trong tất cả các tứ giác đặc biệt mà chúng ta đã thấy cho đến nay, Diều là người duy nhất cũng có thể lõm : nếu nó có hình dạng như phi tiêu hoặc mũi tên:

Một con diều lồi

Một con diều lõm trông giống như một mũi tên

Bạn có thể nhận thấy rằng tất cả các diều là Trục đối xứng

Đường chéo chia diều thành hai hình tam giác đồng dạng . Chúng ta biết rằng chúng đồng dạng từ điều kiện SSS : cả hai hình tam giác đều có ba cạnh đồng dạng (đỏ, lục và lam).

Do đó, sử dụng CPOCT , chúng ta biết rằng các góc tương ứng cũng phải đồng dạng.

Điều này có nghĩa là, ví dụ, đường chéo là một của hai góc ở cuối của nó.

Chúng ta có thể đi xa hơn: nếu chúng ta vẽ đường chéo khác, chúng ta sẽ có thêm hai hình tam giác nhỏ hơn . Chúng cũng phải đồng dạng, vì điều kiện SAS : chúng có cùng hai cạnh và góc bao gồm .

Điều này có nghĩa là góc α cũng phải giống với góc β . Vì chúng liền kề nhau, các góc bổ sung cả α và β phải là °.

Nói cách khác, các đường chéo của một con diều luôn .

Diện tích tứ giác

Khi tính diện tích hình tam giác trong khóa trước, chúng tôi đã sử dụng mẹo chuyển đổi nó thành . Hóa ra chúng ta cũng có thể làm điều đó cho một số hình tứ giác:

Hình bình hành

Ở bên trái, cố gắng vẽ một hình chữ nhật có cùng diện tích với hình bình hành.

Bạn có thể thấy rằng hình tam giác bị thiếu ở bên trái tam giác chồng chéo bên phải? Do đó diện tích của hình bình hành là

Diện tích = cơ sở × Chiều cao

Hãy cẩn thận khi đo chiều cao của hình bình hành: nó thường không giống với một trong hai cạnh.

Hình thang

Nhớ lại rằng hình thang là tứ giác có một cặp cạnh song song . Các mặt song song này được gọi là các cơ sở của hình thang.

Giống như trước đây, hãy thử vẽ một hình chữ nhật có cùng diện tích với hình thang này. Bạn có thể thấy làm thế nào các hình tam giác bị thiếu và thêm vào bên trái và bên phải hủy bỏ?

Các chiều cao của hình chữ nhật này là các cạnh song song của hình thang.

Các chiều rộng của hình chữ nhật là khoảng cách giữa các của hai mặt không song song của hình thang. Điều này được gọi là trung gian của hình thang.

Giống như với hình tam giác , phần giữa của hình thang hai căn cứ của nó. Độ dài của phần giữa là trung bình của độ dài của các bazơ: a+c2 .

Nếu chúng ta kết hợp tất cả những điều này, chúng ta sẽ có được một phương trình cho diện tích của hình thang với các cạnh song song ac và chiều cao h :

A=h×a+c2

cánh diều

Trong con diều này, hai đường chéo tạo thành chiều rộng và chiều cao của một hình chữ nhật lớn bao quanh con diều.

Diện tích của hình chữ nhật này là diện tích của diều. Bạn có thể thấy làm thế nào mỗi bốn hình tam giác tạo nên con diều giống như bốn khoảng trống bên ngoài nó không?

Điều này có nghĩa là khu vực của một con diều có đường chéo d1 d2

Diện tích = 12 d1 × d2 .

Hình thoi

Hình thoi là một hình tứ giác có bốn cạnh đồng dạng. Bạn có thể nhớ rằng mỗi hình thoi là một hình - và cũng là một .

Điều này có nghĩa là để tìm diện tích hình thoi, chúng ta có thể sử dụng phương trình cho diện tích hình bình hành hoặc diện tích hình diều:

Diện tích = cơ sở × chiều cao = 12 d1 × d2 .

Trong các bối cảnh khác nhau, bạn có thể được cung cấp các phần khác nhau của Hình thoi (cạnh, chiều cao, đường chéo) và bạn nên chọn phương trình nào thuận tiện hơn.

Archie