Bảng chú giải

Chọn một trong những từ khóa bên trái

Đa giác và đa diệnChất rắn Platonic

Thời gian đọc: ~40 min
Trang này đã được dịch tự động và có thể có lỗi. Vui lòng liên lạc nếu bạn muốn giúp chúng tôi xem xét các bản dịch!

Khi bắt đầu khóa học này, chúng tôi đã định nghĩa các đa giác thông thường là các đa giác đặc biệt đối xứng trực tiếp, trong đó tất cả các cạnh và góc đều giống nhau. Chúng ta có thể làm một cái gì đó tương tự cho khối đa diện.

Trong một khối đa diện đều, tất cả các mặt đều là cùng một loại đa giác thông thường, và cùng một số mặt gặp nhau ở mọi đỉnh . Polyhedra với hai tính chất này được gọi là chất rắn Platonic , được đặt theo tên của triết gia Hy Lạp Plato .

Vì vậy, các chất rắn Platonic trông như thế nào - và có bao nhiêu trong số chúng? Để tạo hình ba chiều, chúng ta cần ít nhất mặt để gặp nhau ở mọi đỉnh. Hãy bắt đầu một cách có hệ thống với đa giác thông thường nhỏ nhất: tam giác đều:

Nếu chúng ta tạo một khối đa diện trong đó ba tam giác đều gặp nhau ở mọi đỉnh, chúng ta sẽ có được hình bên trái. Nó được gọi là tứ diện và có mặt. (Tet Tetra có nghĩa là người Viking bốn người Hy Lạp).

Nếu bốn tam giác đều gặp nhau ở mọi đỉnh, chúng ta sẽ có một chất rắn Platonic khác nhau. Nó được gọi là Octahedron và có khuôn mặt. .

Nếu hình tam giác gặp nhau ở mọi đỉnh, chúng ta sẽ có Icosahedron . Nó có khuôn mặt. (Tiếng Nhật Icosa có nghĩa là hai mươi tên tiếng Hy Lạp.)

Nếu hình tam giác gặp nhau ở mọi đỉnh, một điều khác biệt sẽ xảy ra: chúng ta chỉ cần có , thay vì đa diện ba chiều.

Và bảy hoặc nhiều hình tam giác ở mọi đỉnh cũng không tạo ra các khối đa diện mới: không có đủ không gian xung quanh một đỉnh, để phù hợp với nhiều hình tam giác đó.

Điều này có nghĩa là chúng tôi đã tìm thấy chất rắn Platonic bao gồm các hình tam giác. Hãy chuyển sang đa giác thông thường tiếp theo: hình vuông.

Nếu hình vuông gặp nhau ở mọi đỉnh, chúng ta sẽ có được khối lập phương . Giống như súc sắc, nó có mặt. Khối lập phương đôi khi cũng được gọi là _Hexahedron , theo từ tiếng Hy Lạp là hex hexa "cho tiếng Sáu Sáu._

Nếu hình vuông gặp nhau ở mọi đỉnh, chúng ta sẽ có . Và giống như trước đây, năm ô vuông trở lên cũng không hoạt động.

Tiếp theo, hãy thử các hình ngũ giác đều đặn:

Nếu hình ngũ giác gặp nhau ở mọi đỉnh, chúng ta sẽ có được Dodecahedron . Nó có khuôn mặt. (Cúc Dodeca 'có nghĩa là người mười hai người Viking trong tiếng Hy Lạp.)

Giống như trước đây, bốn hoặc nhiều hình ngũ giác bởi vì không có đủ không gian.

Đa giác thông thường tiếp theo để thử là hình lục giác:

Nếu ba hình lục giác gặp nhau tại mỗi đỉnh, chúng tôi ngay lập tức nhận được một . Vì không có không gian cho hơn ba, nên có vẻ như không có chất rắn Platonic bao gồm các hình lục giác.

Điều tương tự cũng xảy ra đối với tất cả các đa giác thông thường có nhiều hơn sáu mặt. Họ không tessellate, và chúng tôi chắc chắn không nhận được bất kỳ đa giác ba chiều.

Điều này có nghĩa là chỉ có chất rắn Platonic! Chúng ta hãy cùng nhau xem xét tất cả chúng:

Tứ diện

khuôn mặt
đỉnh
cạnh

Khối lập phương

mặt
đỉnh
cạnh

Thiên niên kỷ

khuôn mặt
đỉnh
cạnh

Cây ngải cứu

mặt
20 đỉnh
30 cạnh

Icosahedron

khuôn mặt
12 đỉnh
30 cạnh

Chú ý số lượng mặt và đỉnh được đối với khối lập phương và khối tám mặt , cũng như khối mười hai mặt và icosahedron , trong khi số cạnh Những cặp chất rắn Platonic này được gọi là chất rắn kép .

Chúng ta có thể biến một khối đa diện thành hai mặt của nó, bằng cách thay thế một mặt của mọi mặt bằng một đỉnh và mọi đỉnh bằng một mặt. Những hình ảnh động này cho thấy:

Tứ diện là kép với chính nó. Vì nó có cùng số mặt và đỉnh, nên việc hoán đổi chúng sẽ không thay đổi gì cả.

Plato tin rằng tất cả vật chất trong Vũ trụ bao gồm bốn yếu tố: Không khí, Trái đất, Nước và Lửa. Ông nghĩ rằng mọi nguyên tố tương ứng với một trong các chất rắn Platonic, trong khi phần tử thứ năm sẽ đại diện cho toàn bộ vũ trụ. Ngày nay chúng ta biết rằng có hơn 100 nguyên tố khác nhau bao gồm các nguyên tử hình cầu, không phải khối đa diện.

Images from Johannes Kepler’s book “Harmonices Mundi” (1619)

Chất rắn Archimedean

Chất rắn Platonic là khối đa diện đặc biệt quan trọng, nhưng có vô số khác.

Các chất rắn Archimedean , ví dụ, vẫn phải được tạo thành từ các đa giác thông thường , nhưng bạn có thể sử dụng nhiều loại khác nhau. Chúng được đặt theo tên của một nhà toán học Hy Lạp khác, Archimedes of Syracuse , và có 13 người trong số họ:

Tứ diện cắt ngắn
8 mặt, 12 đỉnh, 18 cạnh

Khối lập phương
14 mặt, 12 đỉnh, 24 cạnh

Cắt ngắn khối
14 mặt, 24 đỉnh, 36 cạnh

Cắt ngắn Octahedron
14 mặt, 24 đỉnh, 36 cạnh

Hình thoi
26 mặt, 24 đỉnh, 48 cạnh

Cuboctahedron cắt ngắn
26 mặt, 48 đỉnh, 72 cạnh

Snub Cube
38 mặt, 24 đỉnh, 60 cạnh

Icosidodecahedron
32 mặt, 30 đỉnh, 60 cạnh

Cắt ngắn Dodecahedron
32 mặt, 60 đỉnh, 90 cạnh

Cắt ngắn Icosahedron
32 mặt, 60 đỉnh, 90 cạnh

Hình thoi
62 mặt, 60 đỉnh, 120 cạnh

Icosidodecahedron cắt ngắn
62 mặt, 120 đỉnh, 180 cạnh

Cây ngải cứu
92 mặt, 60 đỉnh, 150 cạnh

Các ứng dụng

Plato đã sai khi tin rằng tất cả các nguyên tố bao gồm chất rắn Platonic. Nhưng khối đa diện thông thường có nhiều tính chất đặc biệt khiến chúng xuất hiện ở nơi khác trong tự nhiên - và chúng ta có thể sao chép các tính chất này trong khoa học và kỹ thuật.

Radiolaria skeleton

Icosahedral virus

Nhiều virus , vi khuẩn và các sinh vật nhỏ khác có hình dạng giống như icosahedra . Virus, ví dụ, phải đặt vật liệu di truyền của chúng bên trong vỏ của nhiều đơn vị protein giống hệt nhau. Các icosahedron là cách hiệu quả nhất để làm điều này, bởi vì nó bao gồm một vài yếu tố thông thường nhưng gần như có hình dạng như một quả cầu.

Buckyball molecule

Montreal Biosphere

Nhiều phân tử có hình dạng như khối đa diện thông thường. Ví dụ nổi tiếng nhất là C60 trong đó bao gồm 60 nguyên tử carbon được sắp xếp theo hình Icosahedron cắt ngắn .

Nó được phát hiện vào năm 1985 khi các nhà khoa học nghiên cứu bụi liên sao. Họ đặt tên cho nó là Buckyball, (hay Buckminsterfullerene) theo tên của kiến trúc sư Buckminster Fuller , nổi tiếng với việc xây dựng các tòa nhà trông tương tự.

Fluorite octahedron

Pyrite cube

Hầu hết các tinh thể có các nguyên tử của chúng được sắp xếp trong một lưới thông thường bao gồm tứ diện , khối hoặc bát diện . Khi chúng nứt hoặc vỡ, bạn có thể thấy những hình dạng này ở quy mô lớn hơn.

Octagonal space frames

Louvre museum in Paris

Tetrahedra và octahedra cực kỳ cứng nhắc và ổn định, điều này làm cho chúng rất hữu ích trong xây dựng . Khung không gian là cấu trúc đa giác có thể hỗ trợ mái lớn và cầu nặng.

Football

Polygonal role-playing dice

Chất rắn Platonic cũng được sử dụng để tạo xúc xắc . bởi vì tính đối xứng của chúng, mọi phía đều có xác suất hạ cánh hướng lên - vì vậy xúc xắc là công bằng.

Icosahedron Truncated có lẽ là khối đa diện nổi tiếng nhất trên thế giới: đó là hình dạng của bóng đá.